중복 뽑기 / 쿠폰 콜렉터
전체 아이템 중 원하는 수만큼 모으기 위해 평균 몇 번 뽑아야 하는지 계산합니다. (쿠폰 콜렉터 문제)
중복 뽑기 계산기는 가챠 시스템에서 전체 아이템을 모두 수집하기 위해 평균적으로 몇 번 뽑아야 하는지를 계산해주는 도구입니다. 이 문제는 수학에서 "쿠폰 콜렉터 문제"로 알려져 있으며, 수집이 진행될수록 새로운 아이템을 얻기가 기하급수적으로 어려워지는 현상을 정확히 계산합니다. 예를 들어 50종의 아이템을 모두 모으려면 평균적으로 약 225회의 뽑기가 필요합니다. 마지막 몇 종을 얻기 위해 전체 시도의 절반 이상이 소요되는 경우가 많기 때문에, 컬렉션 완성에 드는 실제 비용을 미리 파악하는 것이 중요합니다. 한정 이벤트의 도감 완성, 카드 수집형 게임의 풀 컬렉션, 스티커 모으기 이벤트 등 "전부 모아야 하는" 상황에서 필요한 예산과 시도 횟수를 사전에 계획할 수 있습니다.
입력
수집할 수 있는 전체 아이템 종류 수
수집하고 싶은 아이템 종류 수
뽑기 1회당 비용 (0이면 비용 계산 생략)
50/50종을 모으기 위한 평균 뽑기 횟수
실제 필요 횟수는 이 범위 내에서 변동됩니다
약 68% 확률로 이 범위 내에 수집 완료
평균 224.96회 × 3,000원
수집 진행률별 기대 추가 시도 횟수
수집이 진행될수록 새로운 아이템을 얻기가 점점 어려워집니다
workflow
사용 방법
약 1분
아이템 수 입력
수집 가능한 전체 아이템 종류 수를 입력합니다.
목표 설정
전부 수집할지, 일부만 수집할지 목표 수집 수를 설정합니다.
비용 입력
뽑기 1회당 비용을 입력합니다 (선택 사항).
결과 확인
기대 시도 횟수, 표준편차, 예상 비용과 수집 진행률별 난이도 차트를 확인합니다.
principle
계산 원리
중복 뽑기 확률의 수학적 배경은 "쿠폰 콜렉터 문제(Coupon Collector's Problem)"입니다. n종의 아이템이 동일 확률로 등장할 때, 전체를 모으기 위한 기대 시도 횟수는 E = n × H(n)이며, H(n)은 조화급수(harmonic series)로 H(n) = 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n입니다.
이를 직관적으로 이해하면, 처음에는 1회 만에 새 아이템을 얻지만(확률 n/n), 이미 k종을 보유한 상태에서 새 아이템을 얻으려면 평균 n/(n-k)회가 필요합니다. 마지막 1종을 얻기 위해서는 평균 n회가 필요하며, 이것이 수집 후반에 비용이 급격히 증가하는 이유입니다.
전체 수집에 필요한 시도 횟수의 분산은 Var = n² × Σ(1/i²)로, 표준편차는 대략 π/√6 × n ≈ 1.28n 정도입니다. n이 커질수록 결과의 불확실성도 커져서, 운에 따른 비용 차이가 상당히 클 수 있습니다.
faq
자주 묻는 질문
cases
실생활 예시
한정 이벤트 도감 완성 비용
이벤트 한정 아이템이 20종이고 뽑기 1회 비용이 3,000원일 때, 20종 전부를 수집하려면 평균 약 72회(21만 6천 원)가 필요합니다. 하지만 18종까지는 평균 42회(12만 6천 원)로 가능합니다.
마지막 2~3종 때문에 비용이 거의 2배로 뛰기 때문에, 보상 구조를 확인하고 부분 수집 보상이 충분한지 판단하는 것이 현명합니다.
카드 스티커 100종 컬렉션 도전
편의점 스티커 100종을 모으는 이벤트에서 빵 하나에 스티커 1장이 들어 있고 빵 가격이 1,500원입니다. 전체 수집까지 평균 약 519회, 총 비용은 약 77만 8천 원이 예상됩니다.
100종 전부를 모으는 것은 예상보다 훨씬 많은 비용이 들며, 교환 시스템을 활용하거나 중복 카드 트레이드를 하는 것이 효율적입니다.
가챠 게임 10종 캐릭터 컬렉션
가챠에서 10종의 캐릭터가 동일 확률로 등장할 때, 10종 전부를 모으려면 평균 약 29회 시도가 필요합니다. 1회 비용이 3,000원이면 약 8만 7천 원이 예상됩니다.
10종 정도는 비교적 합리적인 비용으로 완성 가능하며, 종류가 많아질수록 비용이 비선형적으로 증가한다는 점을 기억하세요.
포켓몬 빵 띠부띠부씰 수집
포켓몬 빵 띠부띠부씰이 40종이고 빵 가격이 1,500원일 때, 전체 수집까지 평균 약 171회(25만 7천 원)가 필요합니다. 30종까지는 평균 62회(9만 3천 원)로 가능합니다.
전체 수집 비용의 60% 이상이 마지막 10종에 집중됩니다. 교환 커뮤니티를 활용하면 후반 비용을 대폭 절감할 수 있습니다.
원신 업적 명함 전체 수집
원신에서 랜덤 보상 8종을 모두 수집하려면 평균 약 22회의 시도가 필요합니다. 1회 시도에 수지 20개 소모 시 총 440개의 수지가 필요합니다.
8종 정도는 비교적 적은 시도로 완성 가능하지만, 마지막 1~2종에서 예상보다 오래 걸릴 수 있으므로 여유를 두고 도전하세요.
소셜 게임 한정 이모티콘 수집
한정 이모티콘이 15종이고 가챠 1회당 500원일 때, 15종 전체를 모으려면 평균 약 50회(2만 5천 원)가 필요합니다. 12종까지는 약 25회(1만 2천 500원)로 가능합니다.
15종 수집은 적절한 비용으로 달성 가능한 규모입니다. 목표를 전체가 아닌 80%(12종)로 낮추면 비용이 절반으로 줄어듭니다.
glossary
용어 사전
- 쿠폰 콜렉터 문제
- n종류의 쿠폰을 랜덤으로 모을 때, 전부 모으려면 평균 몇 장이 필요한지를 계산하는 고전적인 확률 문제입니다.
- 조화급수
- 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n의 합. 전체 수집 기대 횟수를 계산하는 핵심 수식입니다.
- 기대값
- 많은 시행의 평균 결과. 전체 수집에 평균적으로 필요한 시도 횟수를 의미합니다.
- 표준편차
- 결과가 평균에서 얼마나 벗어날 수 있는지를 나타내는 척도. 클수록 운에 따른 차이가 큽니다.
- 비선형 증가
- 수집 종류가 2배 늘면 비용이 2배가 아닌 2배 이상으로 늘어나는 현상. 후반으로 갈수록 효율이 떨어집니다.
- 교환 시스템
- 중복 아이템을 원하는 아이템으로 바꿀 수 있는 시스템. 수집 후반부의 비용을 크게 줄여줍니다.
- 부분 수집
- 전체가 아닌 일부만 모으는 것. 80% 수집은 전체 수집 비용의 약 절반만 필요합니다.
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