음이항분포 계산기

r번째 성공까지 필요한 총 시행 횟수의 확률을 음이항분포로 계산합니다.

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회

달성하고자 하는 성공 횟수

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회

r번째 성공에 도달하는 총 시행 횟수

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확률

확률 8.0048%

1 in 12

확률8.0%
  • 평균10.0회
  • 분산23.33
  • 표준편차4.83

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PMF 분포

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음이항분포 계산기는 성공 확률 p인 독립 시행에서 r번째 성공이 k번째 시행에서 일어날 확률을 계산합니다. PMF는 C(k-1,r-1)×p^r×(1-p)^(k-r)이며, 평균은 r/p, 분산은 r(1-p)/p²입니다. 성공 확률 30%로 3번째 성공까지 평균 10번(3/0.3), 정확히 10번째에 3번째 성공할 확률은 약 8.0%입니다. 15번 안에 3번 성공할 누적 확률은 약 87.2%입니다. 채용, 영업, 품질 검사 등 목표 달성까지의 시행 횟수를 계획하는 데 활용됩니다. PMF/CDF 차트로 달성 시점의 분포를 시각적으로 파악할 수 있습니다.

실생활 예시

이럴 때 이렇게 계산해요.

  • 면접 3곳 합격까지 (합격률 30%)

    사례 01

    합격 확률 30%일 때 3곳 합격까지 평균 10곳에 지원해야 합니다. 정확히 10곳째에 3번째 합격할 확률은 약 8.0%이고, 15곳 안에 3곳 합격할 확률은 약 87.2%입니다.

    평균 10곳이지만 15곳까지 봐야 약 87%의 확신을 가질 수 있습니다. 여유 있는 지원 계획이 필요합니다.

  • 불량품 5개 발견까지 (불량률 5%)

    사례 02

    불량률 5%인 생산 라인에서 5개의 불량품을 발견하려면 평균 100개(5/0.05)를 검사해야 합니다. 80개 안에 5개를 찾을 확률은 약 18.3%입니다.

    낮은 불량률에서 여러 개를 찾으려면 예상보다 많은 검사가 필요합니다. 평균의 1.5배 이상을 계획하세요.

  • 영업 목표 달성 계획 (계약률 15%)

    사례 03

    계약 성사율 15%인 영업사원이 월 5건 계약을 목표로 합니다. 평균 33.3건(5/0.15)의 미팅이 필요하고, 40건 안에 달성할 확률은 약 72.5%입니다.

    목표 달성을 위한 최소 미팅 수를 음이항분포로 계산하면, 현실적인 월간 활동 계획을 세울 수 있습니다.

  • 임상시험 부작용 관찰 (발생률 8%)

    사례 04

    부작용 발생률 8%인 신약에서 부작용 사례 10건을 관찰하려면 평균 125명에게 투여해야 합니다. 100명 안에 10건 관찰할 확률은 약 10.7%입니다.

    임상시험 설계 시 음이항분포로 필요한 피험자 수를 추정하면 연구 기간과 비용을 정확히 계획할 수 있습니다.

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자주 묻는 질문

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음이항분포와 기하분포의 관계는?

기하분포는 음이항분포에서 r=1인 특수한 경우입니다. 기하분포가 "첫 번째 성공까지"라면, 음이항분포는 "r번째 성공까지"로 일반화한 것입니다. r=1이면 두 분포가 동일합니다.

왜 "음이항"이라고 부르나요?

PMF의 이항계수가 음의 정수 지수를 포함하는 일반화된 이항 전개에서 유래합니다. 이름이 직관적이지 않지만, "고정된 성공 횟수에 도달하기까지의 시행 횟수 분포"로 이해하면 됩니다.

이항분포와는 뭐가 다른가요?

이항분포는 시행 횟수 n을 고정하고 성공 횟수 X를 봅니다. 음이항분포는 성공 횟수 r을 고정하고 시행 횟수 X를 봅니다. "10번 던져서 몇 번 성공?"은 이항, "3번 성공하려면 몇 번 던져야?"는 음이항입니다.

음이항분포의 분산은 기하분포보다 항상 큰가요?

네, r이 클수록 분산도 커집니다. 분산은 r(1-p)/p²이므로 r에 비례합니다. 기하분포(r=1)의 분산 (1-p)/p²이 가장 작고, 목표가 커질수록 달성 시점의 불확실성이 증가합니다.

음이항분포를 실무에서 주로 어디에 쓰나요?

임상시험에서 "부작용 r건 관찰까지 몇 명 투여해야 하는가", 보험에서 "사고 r건까지 기간", 영업에서 "계약 r건 달성까지 미팅 수" 등 목표 달성 계획 수립에 활용됩니다.

음이항분포에서 r이 정수가 아니어도 되나요?

일반화된 음이항분포에서는 r이 양의 실수일 수 있습니다. 이 경우 감마 함수를 사용하여 이항계수를 확장합니다. 과분산 데이터(분산>평균) 모델링에 포아송 대신 자주 사용됩니다.

계산 원리

음이항분포(Negative Binomial Distribution)는 성공 확률 p인 독립 시행에서 r번째 성공이 나올 때까지의 총 시행 횟수의 확률 분포입니다. "목표를 달성하려면 몇 번 시도해야 하는가?"에 답하는 분포로, 파스칼 분포라고도 합니다.

확률질량함수는 P(X=k) = C(k-1, r-1) × p^r × (1-p)^(k-r)입니다. k번째 시행에서 r번째 성공이 나오려면, 앞의 k-1번 중 r-1번 성공하고 k번째에 성공해야 합니다. 기대값은 E(X) = r/p, 분산은 Var(X) = r(1-p)/p²입니다.

기하분포는 음이항분포에서 r=1인 특수한 경우입니다. r이 커질수록 분포는 정규분포에 가까워집니다. 또한 음이항분포는 포아송분포의 일반화로, 분산이 평균보다 큰(과분산) 카운트 데이터 모델링에 포아송 대신 사용됩니다.

사용 방법

총 소요 시간: 약 30초

  1. 성공 확률 입력

    1회 시행의 성공 확률(p)을 입력합니다.

  2. 목표 성공 횟수

    달성하려는 성공 횟수(r)를 입력합니다.

  3. 결과 확인

    평균 시행 횟수, PMF/CDF 차트, 특정 횟수 내 달성 확률을 확인합니다.

용어 사전

음이항분포
r번째 성공까지 필요한 총 시행 횟수의 확률 분포. 파스칼 분포라고도 합니다.
목표 성공 횟수(r)
달성하려는 성공의 횟수. r=1이면 기하분포와 동일합니다.
성공 확률(p)
각 독립 시행에서 성공이 일어날 확률. 0 < p ≤ 1.
기대값(E[X])
목표 달성까지 평균적으로 필요한 시행 횟수. r/p로 계산합니다.
분산(Var[X])
달성 시점의 변동 크기. r(1-p)/p²로, r과 (1-p)에 비례합니다.
과분산(Overdispersion)
분산이 평균보다 큰 상태. 음이항분포가 포아송보다 적합한 경우.
파스칼 분포
음이항분포의 다른 이름. 프랑스 수학자 블레즈 파스칼에서 유래.