초기하분포 계산기

비복원 추출의 확률을 초기하분포로 계산합니다. 카드 뽑기, 품질 검사 등에 활용.

입력

전체 모집단의 크기

모집단 중 성공으로 분류되는 수

비복원 추출하는 수

추출 중 성공의 수

계산 모드
예시: 52장 카드(하트 13장)에서 5장 뽑을 때 하트 2장일 확률

확률

확률 27.4280%

1 in 4

확률27.4%
  • 기대값1.25
  • 분산0.8640
  • 표준편차0.9295

1 in 4: 27.4280%

PMF 분포

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초기하분포 계산기는 비복원추출(뽑은 것을 다시 넣지 않는 추출)에서 특정 종류가 몇 개 뽑힐지를 계산합니다. 전체 N개 중 성공 K개에서 n개를 뽑을 때, 정확히 k개가 성공일 확률은 C(K,k)×C(N-K,n-k)/C(N,n)입니다. 52장 카드에서 하트 13장 중 5장을 뽑을 때 하트가 정확히 2장일 확률은 약 27.4%이고 기대값은 1.25장입니다. 품질 검사, 카드 게임 핸드, 로또 추첨 등 비복원추출 상황에 적용됩니다. PMF 차트로 성공 개수별 확률 분포를 시각적으로 확인할 수 있습니다.

실생활 예시

이럴 때 이렇게 계산해요.

  • 포커 핸드 분석

    사례 01

    52장에서 5장을 뽑을 때, 특정 무늬(13장) 중 정확히 2장이 올 확률은 약 27.4%입니다. 3장 이상은 약 9.3%, 5장(플러시)은 약 0.05%입니다.

    카드 게임의 핸드 확률은 비복원추출이므로 초기하분포로 정확히 계산할 수 있습니다.

  • 로또 번호 분석

    사례 02

    45개 번호 중 빨간 공 15개가 있을 때 6개를 뽑아 빨간 공이 3개 이상일 확률은 약 31.1%이고, 기대값은 6×15/45 = 2개입니다.

    로또 추첨은 전형적인 비복원추출입니다. 특정 그룹의 번호가 많이 나올 확률을 초기하분포로 계산할 수 있습니다.

  • TCG 카드 덱 확률

    사례 03

    40장 덱에서 핵심 카드 4장이 있을 때 초기 5장 핸드에 1장 이상 올 확률은? 초기하분포로 계산하면 약 42.7%이며, 2장 이상은 약 6.9%입니다.

    카드 게임 덱 구축 시 초기하분포로 원하는 카드의 초기 핸드 확률을 계산하여 최적 매수를 결정할 수 있습니다.

  • 선거 여론 조사 표본 추출

    사례 04

    유권자 10,000명 중 지지자 4,000명일 때 100명을 무작위 추출하면, 지지자 45명 이상 나올 확률은 약 17.8%이고 기대값은 40명입니다.

    비복원추출 기반의 여론 조사에서 표본 구성의 변동성을 초기하분포로 정확히 추정할 수 있습니다.

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자주 묻는 질문

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초기하분포와 이항분포의 차이는 뭔가요?

이항분포는 복원추출(매번 확률이 같음), 초기하분포는 비복원추출(뽑을수록 확률이 변함)입니다. 52장에서 1장 뽑고 다시 넣으면 이항분포, 안 넣으면 초기하분포입니다. 모집단이 크면 두 분포가 비슷해지지만, 작으면 차이가 큽니다.

기대값은 어떻게 계산하나요?

기대값은 단순히 n×K/N입니다. 52장에서 13장의 하트 중 5장을 뽑으면 기대 하트 수는 5×13/52 = 1.25장입니다. 이항분포의 기대값 n×p와 같은 형태이며, p=K/N에 해당합니다.

품질 검사에서 어떻게 쓰이나요?

100개 제품 중 불량 5개가 있을 때 10개를 검사하면, 불량 1개 이상 발견 확률은 약 41.6%입니다. 전수검사 없이 표본 검사만으로 불량률을 추정하는 데 활용됩니다.

모집단이 클 때도 초기하분포를 써야 하나요?

모집단(N)이 표본(n)에 비해 매우 크면(N>20n) 이항분포로 근사해도 충분합니다. 하지만 N이 작거나 표본 비율이 클 때는 초기하분포를 사용해야 정확한 결과를 얻습니다.

초기하분포의 분산은 이항분포와 어떻게 다른가요?

초기하분포의 분산은 n×K/N×(N-K)/N×(N-n)/(N-1)로, 이항분포 분산에 유한모집단 보정계수(N-n)/(N-1)이 곱해집니다. 비복원추출이라 분산이 이항분포보다 항상 작습니다.

초기하분포로 피셔의 정확 검정을 할 수 있나요?

네, 피셔의 정확 검정(Fisher's Exact Test)은 초기하분포를 기반으로 2×2 분할표에서 두 범주 간 연관성을 검정합니다. 표본 크기가 작을 때 카이제곱 검정 대신 사용합니다.

계산 원리

초기하분포(Hypergeometric Distribution)는 비복원추출에서 특정 종류가 몇 개 뽑히는지를 계산하는 확률 분포입니다. 복원추출(뽑고 다시 넣음)의 이항분포와 달리, 뽑을 때마다 남은 구성이 변하므로 확률이 달라집니다.

확률질량함수는 P(X=k) = C(K,k) × C(N-K, n-k) / C(N,n)입니다. N은 전체 개수, K는 성공(관심 대상)의 수, n은 추출할 표본 크기, k는 표본 중 성공의 수입니다. 기대값은 E(X) = n×K/N, 분산은 n×K/N×(N-K)/N×(N-n)/(N-1)입니다.

분산에 포함된 (N-n)/(N-1)을 유한모집단 보정계수라 합니다. 모집단에 비해 표본이 작으면 이 값이 1에 가까워 이항분포와 거의 같지만, 표본 비율이 크면 분산이 작아져 차이가 명확해집니다.

사용 방법

총 소요 시간: 약 30초

  1. 모집단 설정

    전체 개수(N)와 성공 개수(K)를 입력합니다.

  2. 표본 설정

    추출할 표본 크기(n)를 입력합니다.

  3. 결과 확인

    기대값, 목표 개수의 확률, PMF 차트를 확인합니다.

용어 사전

초기하분포
비복원추출에서 특정 종류의 개수 분포. 뽑을수록 확률이 변하는 상황을 모델링합니다.
비복원추출
한 번 뽑은 것을 다시 넣지 않는 추출 방식. 카드 뽑기, 로또 추첨이 대표적.
모집단(N)
전체 원소의 수. 예: 카드 52장, 제품 100개 등.
성공 수(K)
모집단 중 관심 대상의 수. 예: 하트 13장, 불량품 5개 등.
표본 크기(n)
추출할 원소의 수. 검사할 개수 또는 뽑을 카드 수.
유한모집단 보정계수
(N-n)/(N-1). 비복원추출의 분산이 이항분포보다 작아지는 보정 인자.
기대값(E[X])
표본에서 기대되는 성공 개수. n×K/N으로 계산합니다.
피셔의 정확 검정
초기하분포를 기반으로 2×2 분할표의 연관성을 검정하는 통계 방법.