품질 검사 불량률 분석
불량률이 2%인 제품 100개를 검사할 때, 3개 이상 불량이 나올 확률을 계산합니다. B(100, 0.02)에서 P(X≥3) = 1 - P(X≤2) ≈ 32.3%입니다.
2% 불량률이라도 100개 중 3개 이상 불량이 나올 확률이 약 32%로 꽤 높습니다. 출하 기준 설정 시 참고해야 합니다.
이항분포 계산기
이항분포의 PMF, CDF를 계산하고 분포 차트를 확인합니다. 시행 횟수, 성공 확률, 목표 횟수를 입력하세요.
입력
회
독립 시행의 총 횟수
%
회
관심 있는 성공 횟수
계산 모드
확률
확률 24.6094%
1 in 4
확률24.6%
- 평균5.00
- 분산2.5000
- 표준편차1.5811
확률 24.6094%
PMF 분포 차트
차트 그리는 중…
CDF 누적분포
차트 그리는 중…
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이항분포 계산기는 성공/실패 두 가지 결과만 있는 독립적인 시행을 여러 번 반복할 때의 확률을 계산하는 도구입니다. 동전 던지기, 품질 검사 합격/불합격, 시험 문제 정답/오답 등 이진적 결과가 반복되는 모든 상황에 적용할 수 있습니다. 이항분포 B(n, p)는 n번 시행에서 성공 확률이 p일 때, 정확히 k번 성공할 확률을 계산합니다. P(X=k) = C(n,k) × p^k × (1-p)^(n-k)라는 공식을 사용하며, 이 계산기에서 복잡한 조합 계산 없이 즉시 결과를 얻을 수 있습니다. "정확히 k번", "k번 이상", "k번 이하" 등 다양한 형태의 확률 질문에 답할 수 있으며, 평균(np)과 표준편차(√npq)도 함께 제공합니다. 확률 분포 그래프를 통해 결과를 시각적으로 이해할 수 있습니다.
실생활 예시
이럴 때 이렇게 계산해요.
객관식 시험 찍기 확률
5지선다 객관식 20문제를 모두 랜덤으로 찍을 때, 10개 이상 맞출 확률은? B(20, 0.2)에서 P(X≥10) ≈ 0.259%입니다.
찍어서 절반 이상 맞출 확률은 거의 0%에 가깝습니다. 공부의 중요성을 확률로 확인할 수 있습니다.
마케팅 이메일 응답률 예측
응답률 5%인 마케팅 이메일을 200명에게 발송할 때, 15명 이상 응답할 확률은? B(200, 0.05)에서 P(X≥15) ≈ 7.8%입니다. 기대 응답 수는 10명입니다.
200명에게 보내도 15명 이상 응답을 받을 확률은 약 8%입니다. 목표 응답 수를 달성하려면 충분한 발송량이 필요합니다.
의약품 부작용 발생률 분석
부작용 발생률이 3%인 약을 50명에게 투여할 때, 부작용이 3명 이상 나타날 확률은? B(50, 0.03)에서 P(X≥3) ≈ 18.9%입니다.
개인별 확률은 낮아도 집단에서는 무시할 수 없는 수치입니다. 임상시험에서 부작용 모니터링이 중요한 이유입니다.
농구 자유투 성공률 분석
자유투 성공률 80%인 선수가 10번 던질 때, 전부 성공할 확률은 B(10, 0.8)에서 P(X=10) ≈ 10.7%이고, 8번 이상 성공은 약 67.8%입니다.
80% 성공률이라도 10번 중 10번 모두 넣을 확률은 약 11%에 불과합니다. 스포츠 통계를 이항분포로 정확히 분석할 수 있습니다.
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자주 묻는 질문
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이항분포는 어떤 조건에서 사용하나요?
① 각 시행의 결과가 성공/실패 두 가지, ② 각 시행이 독립적, ③ 성공 확률이 매 시행마다 동일, ④ 시행 횟수가 정해져 있을 때 이항분포를 사용합니다.
이항분포와 정규분포의 관계는 무엇인가요?
n이 충분히 크면(일반적으로 np ≥ 5, nq ≥ 5) 이항분포는 정규분포로 근사할 수 있습니다. 이를 중심극한정리의 특수한 경우로 볼 수 있습니다.
가챠에도 이항분포를 쓸 수 있나요?
네, 각 뽑기가 독립이고 확률이 일정하다면 이항분포를 적용할 수 있습니다. "n회 뽑기에서 정확히 k개를 얻을 확률"이 이항분포의 전형적인 사례입니다.
이항분포의 평균과 분산은 어떻게 구하나요?
평균은 E(X) = n×p, 분산은 Var(X) = n×p×(1-p)입니다. 예를 들어 동전 100번 던지기에서 평균 앞면 횟수는 50, 분산은 25(표준편차 5)입니다.
이항분포에서 누적 확률은 어떻게 계산하나요?
P(X≤k)는 P(X=0)부터 P(X=k)까지 합산합니다. "3번 이하 성공"은 P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)이며, "4번 이상 성공"은 1-P(X≤3)으로 구합니다.
시행 횟수가 많으면 이항분포 대신 무엇을 쓰나요?
n이 크고 p가 극단적이지 않으면 정규분포로 근사합니다. n이 크고 p가 매우 작으면(np<5) 포아송분포가 더 적합합니다. 계산 편의를 위해 상황에 맞는 근사를 선택합니다.
이항분포와 초기하분포는 어떻게 다른가요?
이항분포는 매 시행의 성공 확률이 동일한 복원추출이고, 초기하분포는 뽑을수록 확률이 변하는 비복원추출입니다. 모집단이 충분히 크면 두 분포는 거의 같아집니다.
계산 원리
이항분포(Binomial Distribution)는 성공 또는 실패 두 가지 결과만 있는 시행을 여러 번 반복했을 때, 성공 횟수의 확률 분포입니다. 각 시행은 독립적이어야 하며, 매 시행의 성공 확률 p가 동일해야 합니다.
핵심 공식은 P(X=k) = C(n,k) × p^k × (1-p)^(n-k)입니다. 여기서 C(n,k)는 조합(n개 중 k개를 고르는 경우의 수), n은 총 시행 횟수, k는 성공 횟수, p는 성공 확률입니다. 평균(기대값)은 E(X) = n×p, 분산은 Var(X) = n×p×(1-p)로 계산합니다.
예를 들어 동전을 10번 던져 정확히 3번 앞면이 나올 확률은 C(10,3) × 0.5³ × 0.5⁷ = 120 × 0.0009765625 ≈ 11.7%입니다. n이 충분히 크면 정규분포로 근사할 수 있어 계산이 간편해집니다.
사용 방법
시행 횟수 입력
반복할 총 시행 횟수(n)를 입력합니다.
성공 확률 입력
한 번의 시행에서 성공할 확률(p)을 입력합니다.
성공 횟수 입력
관심 있는 성공 횟수(k)를 입력합니다.
결과 확인
P(X=k), P(X≤k), P(X≥k) 확률과 분포 그래프를 확인합니다.
용어 사전
- 이항분포
- 성공/실패 두 가지 결과만 있는 독립적인 시행을 반복할 때 성공 횟수의 확률 분포.
- 시행(Trial)
- 결과가 성공 또는 실패로 나뉘는 한 번의 실험이나 관찰.
- 성공 확률(p)
- 한 번의 시행에서 성공이 일어날 확률. 0부터 1 사이의 값.
- 조합 C(n,k)
- n개 중 순서를 무시하고 k개를 고르는 경우의 수. n!/(k!(n-k)!)으로 계산.
- 기대값(E[X])
- 확률변수의 평균적인 값. 이항분포에서는 n×p로 계산합니다.
- 누적분포함수(CDF)
- 확률변수가 특정 값 이하일 확률. P(X≤k)를 의미합니다.
- 분산(Var)
- 데이터가 평균으로부터 얼마나 퍼져 있는지의 척도. 이항분포에서는 n×p×(1-p).
- 정규근사
- n이 충분히 크면 이항분포를 정규분포 N(np, np(1-p))로 근사하는 방법.