시험 성적 분석 (평균 70, 표준편차 10)
평균 70점, 표준편차 10점인 시험에서 90점의 Z점수는 2.0입니다. 상위 약 2.3%(P(X>90)≈0.023)에 해당하며, 100명 중 약 2~3등에 해당합니다.
점수 자체보다 Z점수로 상대적 위치를 파악하면, 난이도가 다른 시험 간 비교가 가능합니다.
정규분포 계산기
정규분포의 Z-score 변환과 CDF를 계산합니다. 평균, 표준편차, X 값을 입력하세요.
입력
분포의 중심
분포의 퍼짐 정도
계산 모드
확률
확률 50.0000%
Z = 0.0000 | 1 in 2
확률50.0%
- Z-score0.0000
- CDF Φ(z)0.500000
Z = 0.0000 | 1 in 2: 50.0000%
정규분포 PDF
차트 그리는 중…
풀이 보기
결과 공유하기
정규분포 계산기는 평균(μ)과 표준편차(σ)가 주어진 정규분포에서 특정 값의 Z점수, 누적 확률(CDF), 확률밀도(PDF)를 계산합니다. 68-95-99.7 법칙으로 μ±1σ에 68.3%, μ±2σ에 95.4%, μ±3σ에 99.7%가 포함됩니다. 평균 170cm, 표준편차 6cm인 키 분포에서 180cm의 Z점수는 1.67이며, 상위 약 4.8%에 해당합니다. PDF 곡선과 영역 시각화로 확률을 직관적으로 이해할 수 있으며, 시험 성적 분석, 품질 관리(6시그마), 금융 리스크 평가 등 자연과 사회의 다양한 분야에서 활용됩니다.
실생활 예시
이럴 때 이렇게 계산해요.
제품 품질 관리 (±3σ 규격)
목표 무게 100g, 표준편차 2g인 제품에서 ±3σ(94~106g)를 규격으로 설정하면, 규격 내 비율은 99.7%이고 불량률은 약 0.3%(1,000개당 3개)입니다.
6시그마 품질 관리는 ±6σ 범위를 목표로 하여 불량률을 백만 개당 3.4개 수준으로 낮추는 방법론입니다.
금융 투자 수익률 분석
연평균 수익률 8%, 표준편차 15%인 주식 포트폴리오에서 연간 수익률이 -7% 미만(원금 손실)일 확률은? Z=(-7-8)/15=-1.0이므로 약 15.9%입니다.
기대 수익이 양수여도 연간 15.9% 확률로 원금 손실이 발생합니다. 리스크 관리에서 정규분포 기반 VaR(Value at Risk) 분석이 필수입니다.
IQ 점수 분포 해석
IQ는 평균 100, 표준편차 15의 정규분포를 따릅니다. IQ 130(Z=2.0) 이상은 상위 약 2.3%이며, IQ 85~115(±1σ) 범위에 전체의 68.3%가 속합니다.
IQ 점수는 정규분포의 가장 대표적인 실제 사례입니다. Z점수로 환산하면 서로 다른 표준화 점수 간 비교가 가능합니다.
신장 백분위 계산
한국 성인 남성 평균 키 173cm, 표준편차 6cm일 때 180cm인 사람의 Z점수는 1.17이며, 상위 약 12.1%(백분위 87.9%)에 해당합니다.
정규분포로 키, 몸무게 등 신체 데이터의 백분위를 정확히 계산할 수 있습니다. 건강 검진이나 성장 평가에 활용됩니다.
관련 계산기
같이 쓰면 좋아요. 옆으로 넘겨 보세요.
자주 묻는 질문
궁금한 거 모아 봤어요. 눌러서 펼쳐 보세요.
Z점수란 무엇인가요?
Z = (X-μ)/σ로, 값이 평균에서 표준편차 몇 배만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다. Z=0이면 평균, Z=1이면 평균보다 1σ 위(상위 약 15.9%), Z=2이면 상위 약 2.3%입니다. 서로 다른 단위의 분포를 비교할 때 유용합니다.
68-95-99.7 법칙이란?
정규분포에서 평균 ±1σ 안에 약 68.3%, ±2σ 안에 약 95.4%, ±3σ 안에 약 99.7%의 데이터가 포함됩니다. ±3σ 밖의 데이터는 0.3%로 매우 드물어, 이상치 탐지의 기준으로 자주 사용됩니다.
정규분포가 왜 중요한가요?
중심극한정리에 의해 독립적인 확률변수의 합은 표본 크기가 커질수록 정규분포에 수렴합니다. 키, 시험 점수, 측정 오차 등 자연과 사회의 많은 현상이 정규분포를 따르며, 대부분의 통계적 검정의 기초가 됩니다.
표준정규분포란 무엇인가요?
평균이 0이고 표준편차가 1인 정규분포를 표준정규분포라 합니다. Z변환(Z=(X-μ)/σ)으로 모든 정규분포를 표준정규분포로 변환할 수 있어, 하나의 표를 모든 정규분포에 사용할 수 있습니다.
정규분포와 이항분포는 어떤 관계인가요?
이항분포에서 시행 횟수 n이 충분히 크면(np≥5, nq≥5) 정규분포 N(np, npq)로 근사할 수 있습니다. 이를 드모아브르-라플라스 정리라 하며, 연속성 보정(±0.5)을 적용하면 더 정확해집니다.
정규분포를 따르지 않는 데이터는 어떻게 하나요?
로그 변환, Box-Cox 변환 등으로 정규분포에 가깝게 만들 수 있습니다. 또는 비모수 검정(순위 기반 검정)을 사용하거나, 표본 크기가 충분하면 중심극한정리에 의해 평균의 분포가 정규분포에 근사합니다.
6시그마(6σ)란 무엇인가요?
품질 관리 방법론으로, 제품이 규격 범위 ±6σ 안에 들어오는 것을 목표로 합니다. 이론적으로 불량률이 백만 개당 3.4개(0.00034%)까지 줄어들어 거의 완벽한 품질을 의미합니다.
계산 원리
정규분포(Normal Distribution)는 평균(μ)을 중심으로 좌우 대칭인 종 모양의 연속 확률 분포입니다. 자연과 사회의 많은 현상(키, 시험 점수, 측정 오차 등)이 이 분포를 따르며, 통계학에서 가장 중요한 분포입니다.
확률밀도함수(PDF)는 f(x) = (1/(σ√(2π))) × e^(-(x-μ)²/(2σ²))이며, μ는 평균(분포의 중심), σ는 표준편차(분포의 폭)를 결정합니다. Z변환 Z = (X-μ)/σ로 모든 정규분포를 표준정규분포 N(0,1)로 변환할 수 있습니다.
중심극한정리에 의해 독립적인 확률변수의 합은 원래 분포에 관계없이 표본 크기가 커지면 정규분포에 수렴합니다. 이 성질 덕분에 정규분포는 통계적 추론(신뢰구간, 가설검정)의 기초가 됩니다.
사용 방법
분포 설정
평균(μ)과 표준편차(σ)를 입력합니다.
값 입력
확률을 구할 값(X)을 입력합니다.
결과 확인
Z점수, 누적 확률(CDF), PDF 곡선과 영역 시각화를 확인합니다.
용어 사전
- 정규분포
- 평균을 중심으로 좌우 대칭인 종 모양의 연속 확률 분포. 가우시안 분포라고도 합니다.
- Z점수(Z-score)
- 값이 평균에서 표준편차 몇 배만큼 떨어져 있는지를 나타내는 표준화된 점수.
- 표준편차(σ)
- 데이터가 평균으로부터 얼마나 퍼져 있는지를 나타내는 척도. 값이 클수록 분포가 넓습니다.
- 누적분포함수(CDF)
- 확률변수가 특정 값 이하일 확률. P(X≤x)를 의미하며, 0에서 1 사이의 값입니다.
- 확률밀도함수(PDF)
- 연속 확률 분포에서 특정 값 근처의 상대적 확률을 나타내는 함수. 곡선 아래 면적이 확률입니다.
- 중심극한정리
- 표본 크기가 커지면 표본 평균의 분포가 원래 분포와 무관하게 정규분포에 수렴하는 정리.
- 백분위(Percentile)
- 해당 값 이하인 데이터의 비율. 예: 90번째 백분위는 전체의 90% 이하.