포아송 분포 계산기
포아송 분포로 단위 시간/공간당 사건 발생 확률을 계산합니다.
포아송분포 계산기는 일정 시간/공간에서 평균 λ번 발생하는 사건이 정확히 k번 일어날 확률을 계산합니다. PMF는 λ^k×e^(-λ)/k!이며, 평균과 분산이 모두 λ인 특성을 가집니다. λ=5일 때 정확히 3번 발생할 확률은 약 14.0%, 8번 이상은 약 13.3%입니다. 0번 발생 확률은 e^(-5)≈0.67%입니다. 서버 요청, 교통사고, 콜센터 전화, 자연재해 등 독립적 사건의 발생 횟수 모델링에 널리 사용됩니다. PMF/CDF 차트로 발생 횟수별 확률 분포를 시각적으로 확인하고 이상 징후 탐지 기준을 설정할 수 있습니다.
사용 방법
총 소요 시간: 약 30초
평균 발생률 입력
기간당 평균 발생 횟수(λ)를 입력합니다.
목표 횟수 설정
확률을 구할 사건 발생 횟수(k)를 입력합니다.
결과 확인
정확히 k번/k번 이상/k번 이하 확률, PMF/CDF 차트를 확인합니다.
계산 원리
포아송분포(Poisson Distribution)는 일정 시간이나 공간에서 드물게 발생하는 사건의 횟수를 모델링하는 확률 분포입니다. 프랑스 수학자 시메옹 드니 포아송이 1837년에 발표했으며, "단위 구간에서 몇 번 일어나는가?"라는 질문에 답합니다.
확률질량함수는 P(X=k) = (λ^k × e^(-λ)) / k!입니다. λ(람다)는 단위 시간/공간당 평균 발생 횟수이며, e는 자연상수(≈2.718)입니다. 포아송분포의 특별한 성질은 평균과 분산이 모두 λ로 같다는 것입니다.
포아송분포는 이항분포에서 n이 매우 크고 p가 매우 작을 때(np=λ)의 극한으로 유도됩니다. 서버 요청, 교통사고, 방사선 붕괴, 전화 도착 등 독립적이고 드문 사건의 발생 횟수를 예측하는 데 널리 사용됩니다.
자주 묻는 질문
실생활 예시
서버 오류 분석 (시간당 평균 5건)
λ=5일 때 1시간 동안 오류가 정확히 3건일 확률은 약 14.0%, 8건 이상은 약 13.3%입니다. 오류가 0건(정상 운영)일 확률은 약 0.67%로, 무오류 1시간은 매우 드뭅니다.
서버 모니터링에서 λ 이상의 오류가 발생하면 이상 징후로 판단합니다. 10건 이상이면 상위 3.2%로 주의가 필요합니다.
콜센터 전화 (분당 평균 2건)
λ=2일 때 1분간 전화가 0건일 확률은 e^(-2)≈13.5%, 5건 이상은 약 5.3%입니다. 10분간(λ=20) 25건 이상 확률은 약 15.7%입니다.
포아송분포로 피크 타임의 통화량을 예측하고 적정 상담원 수를 배치할 수 있습니다.
교통사고 발생 예측
특정 교차로에서 월평균 3건의 사고가 발생합니다. 한 달에 5건 이상 사고가 일어날 확률은 P(X≥5) ≈ 18.5%이고, 0건(무사고)일 확률은 약 5.0%입니다.
포아송분포로 사고 다발 지역을 식별하고, 이상 발생(평균의 2배 이상) 시 교통 안전 시설 점검의 근거를 마련할 수 있습니다.
웹사이트 방문자 수 예측
시간당 평균 120명이 방문하는 웹사이트에서 특정 1분간(λ=2) 5명 이상 동시 접속할 확률은 약 5.3%입니다. 서버 용량은 이 피크를 감당할 수 있어야 합니다.
포아송분포로 순간 최대 접속자를 예측하여 서버 용량을 계획합니다. λ+3√λ까지 대비하면 99.9% 이상 커버합니다.
용어 사전
- 포아송분포
- 단위 시간/공간에서 평균 λ번 발생하는 독립적 사건의 횟수 분포.
- 람다(λ)
- 단위 기간당 평균 발생 횟수. 포아송분포의 유일한 매개변수이며 평균이자 분산.
- 확률질량함수(PMF)
- 정확히 k번 발생할 확률. P(X=k) = λ^k × e^(-λ) / k!로 계산.
- 포아송 과정
- 사건이 독립적이고 균일한 비율로 발생하는 확률 과정. 포아송분포의 기반 모델.
- 자연상수(e)
- 약 2.71828... 로그와 지수 함수의 밑. 포아송분포 공식에서 핵심적으로 사용됩니다.
- 과분산(Overdispersion)
- 실제 분산이 평균보다 클 때. 포아송 가정이 성립하지 않음을 의미합니다.
- 사건 독립성
- 한 사건의 발생이 다른 사건의 발생 확률에 영향을 주지 않는 성질.