서버 오류 분석 (시간당 평균 5건)
λ=5일 때 1시간 동안 오류가 정확히 3건일 확률은 약 14.0%, 8건 이상은 약 13.3%입니다. 오류가 0건(정상 운영)일 확률은 약 0.67%로, 무오류 1시간은 매우 드뭅니다.
서버 모니터링에서 λ 이상의 오류가 발생하면 이상 징후로 판단합니다. 10건 이상이면 상위 3.2%로 주의가 필요합니다.
포아송 분포 계산기
포아송 분포로 단위 시간/공간당 사건 발생 확률을 계산합니다.
입력
단위 시간/공간당 평균 발생 횟수
회
계산 모드
확률
확률 14.0374%
1 in 7
확률14.0%
- 평균 (λ)5
- 분산 (λ)5
- 표준편차2.2361
1 in 7: 14.0374%
PMF 분포
차트 그리는 중…
CDF 누적분포
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포아송분포 계산기는 일정 시간/공간에서 평균 λ번 발생하는 사건이 정확히 k번 일어날 확률을 계산합니다. PMF는 λ^k×e^(-λ)/k!이며, 평균과 분산이 모두 λ인 특성을 가집니다. λ=5일 때 정확히 3번 발생할 확률은 약 14.0%, 8번 이상은 약 13.3%입니다. 0번 발생 확률은 e^(-5)≈0.67%입니다. 서버 요청, 교통사고, 콜센터 전화, 자연재해 등 독립적 사건의 발생 횟수 모델링에 널리 사용됩니다. PMF/CDF 차트로 발생 횟수별 확률 분포를 시각적으로 확인하고 이상 징후 탐지 기준을 설정할 수 있습니다.
실생활 예시
이럴 때 이렇게 계산해요.
콜센터 전화 (분당 평균 2건)
λ=2일 때 1분간 전화가 0건일 확률은 e^(-2)≈13.5%, 5건 이상은 약 5.3%입니다. 10분간(λ=20) 25건 이상 확률은 약 15.7%입니다.
포아송분포로 피크 타임의 통화량을 예측하고 적정 상담원 수를 배치할 수 있습니다.
교통사고 발생 예측
특정 교차로에서 월평균 3건의 사고가 발생합니다. 한 달에 5건 이상 사고가 일어날 확률은 P(X≥5) ≈ 18.5%이고, 0건(무사고)일 확률은 약 5.0%입니다.
포아송분포로 사고 다발 지역을 식별하고, 이상 발생(평균의 2배 이상) 시 교통 안전 시설 점검의 근거를 마련할 수 있습니다.
웹사이트 방문자 수 예측
시간당 평균 120명이 방문하는 웹사이트에서 특정 1분간(λ=2) 5명 이상 동시 접속할 확률은 약 5.3%입니다. 서버 용량은 이 피크를 감당할 수 있어야 합니다.
포아송분포로 순간 최대 접속자를 예측하여 서버 용량을 계획합니다. λ+3√λ까지 대비하면 99.9% 이상 커버합니다.
관련 계산기
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자주 묻는 질문
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포아송분포와 이항분포는 어떤 관계인가요?
포아송분포는 이항분포에서 n→∞, p→0, np=λ일 때의 극한입니다. 시행 횟수가 매우 많고 각 시행의 확률이 매우 작을 때 이항분포 대신 포아송분포를 사용합니다. 예를 들어 하루 10,000건 중 불량 발생(p=0.0005, λ=5)은 포아송분포로 근사합니다.
평균과 분산이 같다는 것은 무슨 의미인가요?
λ가 크면 변동도 커지고, λ가 작으면 변동도 작습니다. λ=1이면 0~3 범위에 대부분 집중되고, λ=20이면 약 11~29 범위에 집중됩니다(평균±2√λ). 실제 데이터의 분산이 평균과 크게 다르면 포아송 가정이 맞지 않을 수 있습니다.
포아송분포를 쓸 수 있는 조건은?
사건이 독립적이고, 평균 발생률이 일정하며, 동시에 2건 이상 발생하지 않아야 합니다. 시간대별 발생률이 다르거나(출퇴근 교통량) 사건이 서로 영향을 미치면(전염병) 포아송 가정이 성립하지 않습니다.
포아송분포와 정규분포의 관계는?
λ가 충분히 크면(일반적으로 λ≥10) 포아송분포는 정규분포 N(λ, λ)로 근사할 수 있습니다. λ가 작을 때는 비대칭이지만, 커질수록 종 모양에 가까워집니다.
포아송분포에서 0번 발생이 중요한 이유는?
P(X=0) = e^(-λ)로, "사건이 한 번도 안 일어날 확률"입니다. λ=3이면 약 5%, λ=5이면 약 0.7%입니다. 보안 시스템에서 "공격 0회"나 서비스에서 "무장애 시간"을 추정하는 데 핵심적입니다.
포아송분포의 시간 단위를 바꿀 수 있나요?
네, λ는 시간 단위에 비례합니다. 시간당 λ=6이면 분당 λ=0.1, 하루당 λ=144입니다. 분석 목적에 맞게 시간 단위를 자유롭게 조정하되, 독립성 가정이 유지되는지 확인하세요.
계산 원리
포아송분포(Poisson Distribution)는 일정 시간이나 공간에서 드물게 발생하는 사건의 횟수를 모델링하는 확률 분포입니다. 프랑스 수학자 시메옹 드니 포아송이 1837년에 발표했으며, "단위 구간에서 몇 번 일어나는가?"라는 질문에 답합니다.
확률질량함수는 P(X=k) = (λ^k × e^(-λ)) / k!입니다. λ(람다)는 단위 시간/공간당 평균 발생 횟수이며, e는 자연상수(≈2.718)입니다. 포아송분포의 특별한 성질은 평균과 분산이 모두 λ로 같다는 것입니다.
포아송분포는 이항분포에서 n이 매우 크고 p가 매우 작을 때(np=λ)의 극한으로 유도됩니다. 서버 요청, 교통사고, 방사선 붕괴, 전화 도착 등 독립적이고 드문 사건의 발생 횟수를 예측하는 데 널리 사용됩니다.
사용 방법
평균 발생률 입력
기간당 평균 발생 횟수(λ)를 입력합니다.
목표 횟수 설정
확률을 구할 사건 발생 횟수(k)를 입력합니다.
결과 확인
정확히 k번/k번 이상/k번 이하 확률, PMF/CDF 차트를 확인합니다.
용어 사전
- 포아송분포
- 단위 시간/공간에서 평균 λ번 발생하는 독립적 사건의 횟수 분포.
- 람다(λ)
- 단위 기간당 평균 발생 횟수. 포아송분포의 유일한 매개변수이며 평균이자 분산.
- 확률질량함수(PMF)
- 정확히 k번 발생할 확률. P(X=k) = λ^k × e^(-λ) / k!로 계산.
- 포아송 과정
- 사건이 독립적이고 균일한 비율로 발생하는 확률 과정. 포아송분포의 기반 모델.
- 자연상수(e)
- 약 2.71828... 로그와 지수 함수의 밑. 포아송분포 공식에서 핵심적으로 사용됩니다.
- 과분산(Overdispersion)
- 실제 분산이 평균보다 클 때. 포아송 가정이 성립하지 않음을 의미합니다.
- 사건 독립성
- 한 사건의 발생이 다른 사건의 발생 확률에 영향을 주지 않는 성질.