순열과 조합 완벽 가이드

순열과 조합은 "경우의 수"를 세는 두 가지 방법입니다. 핵심 차이는 순서가 중요한지 여부입니다. 순열(Permutation)은 순서가 중요한 경우입니다. 예를 들어, 3명 중 회장·부회장을 뽑으면 A가 회장이고 B가 부회장인 것과 B가 회장이고 A가 부회장인 것은 다른 경우입니다. 조합(Combination)은 순서가 상관없는 경우입니다. 같은 3명 중 대표 2명을 뽑을 때, A와 B를 뽑든 B와 A를 뽑든 같은 결과입니다. 문제를 풀 때 "뽑은 것들의 역할이나 배치가 구분되는가?"를 먼저 따져보면 순열과 조합 중 무엇을 쓸지 바로 판단할 수 있습니다.

순열 공식은 nPr = n! / (n-r)! 입니다. 여기서 n은 전체 개수, r은 뽑는 개수, !는 팩토리얼(그 수부터 1까지 차례로 곱하는 것)입니다. 예를 들어, 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 입니다. 예제: 10명 중 1등, 2등, 3등을 정하는 경우의 수는? 순서가 중요하므로 순열입니다. 10P3 = 10! / 7! = 10 × 9 × 8 = 720가지. 직관적으로 이해하면, 1등 자리에 올 수 있는 사람 10명, 그다음 2등 자리에 9명, 3등 자리에 8명이므로 10 × 9 × 8 = 720입니다.

조합 공식은 nCr = n! / (r! × (n-r)!) 입니다. 순열 공식에서 r!(뽑은 것들의 순서 배열 수)로 나눠 중복을 제거한 것입니다. 순서를 무시하기 때문에 항상 nCr ≤ nPr 입니다. 예제: 로또 6/45는 45개 번호 중 6개를 뽑는 것인데, 번호 순서는 상관없으므로 조합입니다. 45C6 = 45! / (6! × 39!) = 8,145,060가지. 약 814만 분의 1 확률인 셈입니다. 또 다른 예로, 12명에서 축구 팀(5명)을 구성하는 경우의 수는 12C5 = 792가지입니다.

순열이 쓰이는 대표적인 경우: 4자리 비밀번호(0~9에서 중복 허용, 순서 중요)는 10⁴ = 10,000가지, 마라톤 1~3등 시상은 참가자 수에서 3명을 순서대로 뽑는 순열입니다. 자동차 번호판, 전화번호 배정 등 순서와 배치가 중요한 곳에 순열을 씁니다. 조합이 쓰이는 경우: 로또 번호 추첨, 동아리 멤버 선발, 메뉴에서 반찬 3가지 고르기 등 "누구(무엇)를 뽑느냐만 중요하고 순서는 무관"한 상황입니다. 투자 포트폴리오에서 10개 종목 중 3개를 고르는 것도 조합(10C3 = 120가지)입니다. 문제 유형을 파악하면 공식 적용은 간단합니다.

가장 흔한 실수는 순열과 조합을 혼동하는 것입니다. "순서가 중요한가?"를 항상 먼저 물어보세요. 위원장·부위원장 선출은 순열, 위원 2명 선출은 조합입니다. 중복이 허용되는 경우도 주의하세요. 비밀번호처럼 같은 숫자를 여러 번 쓸 수 있으면 중복순열(nᴿ)이고, 같은 종류의 아이스크림을 여러 개 고를 수 있으면 중복조합(n+r-1Cr)입니다. 판단이 어려울 때는 작은 숫자로 직접 나열해보면 확인할 수 있습니다. 예를 들어, 3명 중 2명 뽑는 문제를 AB, BA처럼 써보면서 이들이 같은 건지 다른 건지 판단하세요.