몬티홀 문제란?
1990년, 잡지 칼럼니스트 마릴린 보스 사반트가 제시한 이 문제는 수학자들까지 격론을 벌이게 만든 유명한 확률 퍼즐입니다. 상황은 이렇습니다: TV 게임 쇼에 3개의 문이 있고, 하나 뒤에 자동차, 나머지 둘 뒤에 염소가 있습니다. 참가자가 문 하나를 고르면, 진행자(몬티홀)가 나머지 두 문 중 염소가 있는 문 하나를 열어 보여줍니다.
이때 참가자에게 선택을 바꿀 기회가 주어집니다. 문을 바꿔야 할까요, 유지해야 할까요? 직관적으로는 "남은 2개 중 하나니까 50/50"이라고 생각되지만, 놀랍게도 문을 바꾸면 당첨 확률이 2/3, 유지하면 1/3입니다. 바꾸는 것이 2배 유리합니다.
왜 바꾸는 것이 유리한가?
핵심은 "진행자가 무작위로 문을 연 것이 아니라, 반드시 염소 문을 선택했다"는 점입니다. 이 정보가 확률을 바꿉니다. 모든 경우의 수를 나열해 봅시다. 자동차가 1번 문에 있다고 가정하면:
경우 1: 참가자가 1번 선택 → 진행자가 2번 또는 3번 오픈 → 바꾸면 실패. 경우 2: 참가자가 2번 선택 → 진행자가 3번 오픈(반드시) → 바꾸면 1번 = 성공. 경우 3: 참가자가 3번 선택 → 진행자가 2번 오픈(반드시) → 바꾸면 1번 = 성공. 세 경우가 동일한 확률(1/3)로 발생하므로, 바꾸면 3번 중 2번 성공 = 2/3입니다.
직관적으로 이해하는 방법
문을 1,000개로 확장해 보면 직관적으로 이해됩니다. 1,000개의 문 중 하나에 자동차가 있고, 당신이 하나를 고릅니다. 진행자가 나머지 999개 중 염소가 있는 998개를 열어 보여주고, 단 하나만 남겨둡니다. 이때 바꾸시겠습니까? 거의 모든 사람이 "당연히 바꾼다"고 답합니다. 처음 맞출 확률은 1/1,000이고, 남겨진 문에 있을 확률은 999/1,000이니까요.
3개 문의 경우도 원리는 동일합니다. 처음 선택이 맞을 확률은 1/3이고, 진행자가 문을 열어도 이 확률은 변하지 않습니다. 따라서 나머지 문에 자동차가 있을 확률은 2/3입니다. 진행자의 행위는 2/3의 확률을 하나의 문에 "집중"시킨 것입니다.
시뮬레이션으로 확인하기
수학이 와닿지 않으면 직접 시뮬레이션해 볼 수 있습니다. 카드 3장(조커 1장, 일반 2장)으로 100번 실험해 보세요. 바꾸는 전략과 유지하는 전략을 각각 50번씩 실행하면, 바꾸기는 약 33번(66%), 유지하기는 약 17번(34%) 성공할 것입니다.
컴퓨터 시뮬레이션 결과도 동일합니다. 100만 번 시뮬레이션 결과: 바꾸기 전략 승률 66.67%, 유지 전략 승률 33.33%로 정확히 이론값과 일치합니다. 몇퍼의 몬티홀 시뮬레이터에서 직접 수천 번의 시행을 돌려볼 수 있습니다. 확률은 거짓말을 하지 않습니다.