순열/조합 계산기
nPr(순열), nCr(조합), 중복순열, 중복조합을 한번에 계산합니다. 큰 수에도 대응합니다.
순열·조합 계산기는 n개에서 r개를 선택하는 4가지 경우의 수를 계산합니다. 순열 P(n,r)=n!/(n-r)!은 순서가 중요한 경우, 조합 C(n,r)=n!/(r!(n-r)!)은 순서가 중요하지 않은 경우입니다. 중복순열 n^r과 중복조합 H(n,r)=C(n+r-1,r)도 지원합니다. C(10,3)=120, P(10,3)=720으로, 순서를 고려하면 경우의 수가 3!=6배 많아집니다. 큰 숫자의 팩토리얼은 로그 연산으로 정확히 계산하며, 로또 확률, 비밀번호 경우의 수, 팀 편성, 좌석 배치 등 다양한 경우의 수 문제에 활용됩니다.
사용 방법
총 소요 시간: 약 30초
계산 유형 선택
순열, 조합, 중복순열, 중복조합 중 선택합니다.
값 입력
전체 개수(n)와 선택 개수(r)를 입력합니다.
결과 확인
경우의 수와 계산 과정을 확인합니다.
계산 원리
순열(Permutation)과 조합(Combination)은 경우의 수를 세는 두 가지 기본 방법입니다. 순열은 순서가 중요한 경우, 조합은 순서를 무시하는 경우에 사용합니다. 팩토리얼(n!)은 n개를 일렬로 나열하는 방법의 수로, 모든 계산의 기초입니다.
순열 P(n,r) = n!/(n-r)!은 n개 중 r개를 순서대로 고르는 경우의 수입니다. 조합 C(n,r) = n!/(r!(n-r)!)은 순서를 무시하므로 순열을 r!로 나눕니다. 중복순열은 n^r(같은 항목 반복 가능, 순서 있음), 중복조합 H(n,r) = C(n+r-1, r)입니다.
예를 들어 5명 중 3명을 뽑아 1·2·3등을 정하면 P(5,3)=60가지이지만, 단순히 3명을 뽑으면 C(5,3)=10가지입니다. 순서를 고려하면 경우의 수가 3!=6배 많아집니다.
자주 묻는 질문
실생활 예시
로또 경우의 수
45개 번호 중 6개를 뽑는 로또의 경우의 수는 C(45,6)=8,145,060입니다. 1등 당첨 확률은 약 1/814만으로, 매주 1장을 구매하면 평균 약 15만 6,000년이 걸립니다.
조합의 경우의 수가 크기 때문에 로또 당첨 확률이 극히 낮습니다. 순서를 따지면(순열) 경우의 수는 더 커집니다.
비밀번호 보안 분석
대소문자+숫자(62종) 8자리 비밀번호의 경우의 수는 62^8 ≈ 218조입니다. 초당 10억 개를 시도하는 공격에도 약 60시간이 걸립니다. 특수문자를 추가하면(95종) 95^8 ≈ 6,634조로 약 77일이 필요합니다.
문자 종류와 길이가 보안 강도에 지수적으로 영향을 미칩니다. 1자리 추가가 경우의 수를 62~95배 늘립니다.
축구 리그 대진표
12팀이 참가하는 리그에서 총 경기 수는 C(12,2) = 66경기입니다. 홈/원정을 구분하면 P(12,2) = 132경기가 됩니다. 토너먼트(8강) 대진 배치는 8! = 40,320가지입니다.
리그 방식(조합)과 토너먼트 방식(순열)의 경기 수 차이를 수학적으로 비교할 수 있습니다.
메뉴 세트 조합
10가지 반찬 중 3가지를 고르는 정식 세트의 조합 수는 C(10,3) = 120가지입니다. 음료 5종에서 2잔을 중복 허용으로 고르면 H(5,2) = C(6,2) = 15가지입니다.
메뉴 기획이나 상품 패키지 구성에서 조합과 중복조합을 활용하면 가능한 모든 옵션 수를 파악할 수 있습니다.
용어 사전
- 순열(Permutation)
- n개 중 r개를 순서를 고려하여 나열하는 경우의 수. P(n,r) = n!/(n-r)!.
- 조합(Combination)
- n개 중 r개를 순서 없이 선택하는 경우의 수. C(n,r) = n!/(r!(n-r)!).
- 팩토리얼(n!)
- 1부터 n까지의 모든 자연수를 곱한 값. 예: 5! = 120. 0! = 1로 정의합니다.
- 중복순열
- 같은 항목을 반복 선택할 수 있는 순열. n^r로 계산합니다. 예: 비밀번호.
- 중복조합
- 같은 항목을 반복 선택할 수 있는 조합. H(n,r) = C(n+r-1, r)로 계산합니다.
- 경우의 수
- 어떤 사건이 일어날 수 있는 모든 가능한 결과의 수.
- 곱의 법칙
- 독립적인 두 선택을 동시에 할 때, 전체 경우의 수는 각 경우의 수의 곱.