로또 경우의 수
45개 번호 중 6개를 뽑는 로또의 경우의 수는 C(45,6)=8,145,060입니다. 1등 당첨 확률은 약 1/814만으로, 매주 1장을 구매하면 평균 약 15만 6,000년이 걸립니다.
조합의 경우의 수가 크기 때문에 로또 당첨 확률이 극히 낮습니다. 순서를 따지면(순열) 경우의 수는 더 커집니다.
순열/조합 계산기
nPr(순열), nCr(조합), 중복순열, 중복조합을 한번에 계산합니다. 큰 수에도 대응합니다.
입력
선택할 수 있는 전체 원소의 수
선택하는 원소의 수
조합 C(n,r)
조합 C(n,r) 120
순서를 고려하지 않는 선택
- 순열 P(n,r)720순서를 고려하는 배열
- 중복조합 H(n,r)220
- 중복순열 n^r1,000
순서를 고려하지 않는 선택: 120
r에 따른 C(10, r) 변화
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순열·조합 계산기는 n개에서 r개를 선택하는 4가지 경우의 수를 계산합니다. 순열 P(n,r)=n!/(n-r)!은 순서가 중요한 경우, 조합 C(n,r)=n!/(r!(n-r)!)은 순서가 중요하지 않은 경우입니다. 중복순열 n^r과 중복조합 H(n,r)=C(n+r-1,r)도 지원합니다. C(10,3)=120, P(10,3)=720으로, 순서를 고려하면 경우의 수가 3!=6배 많아집니다. 큰 숫자의 팩토리얼은 로그 연산으로 정확히 계산하며, 로또 확률, 비밀번호 경우의 수, 팀 편성, 좌석 배치 등 다양한 경우의 수 문제에 활용됩니다.
실생활 예시
이럴 때 이렇게 계산해요.
비밀번호 보안 분석
대소문자+숫자(62종) 8자리 비밀번호의 경우의 수는 62^8 ≈ 218조입니다. 초당 10억 개를 시도하는 공격에도 약 60시간이 걸립니다. 특수문자를 추가하면(95종) 95^8 ≈ 6,634조로 약 77일이 필요합니다.
문자 종류와 길이가 보안 강도에 지수적으로 영향을 미칩니다. 1자리 추가가 경우의 수를 62~95배 늘립니다.
축구 리그 대진표
12팀이 참가하는 리그에서 총 경기 수는 C(12,2) = 66경기입니다. 홈/원정을 구분하면 P(12,2) = 132경기가 됩니다. 토너먼트(8강) 대진 배치는 8! = 40,320가지입니다.
리그 방식(조합)과 토너먼트 방식(순열)의 경기 수 차이를 수학적으로 비교할 수 있습니다.
메뉴 세트 조합
10가지 반찬 중 3가지를 고르는 정식 세트의 조합 수는 C(10,3) = 120가지입니다. 음료 5종에서 2잔을 중복 허용으로 고르면 H(5,2) = C(6,2) = 15가지입니다.
메뉴 기획이나 상품 패키지 구성에서 조합과 중복조합을 활용하면 가능한 모든 옵션 수를 파악할 수 있습니다.
관련 계산기
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자주 묻는 질문
궁금한 거 모아 봤어요. 눌러서 펼쳐 보세요.
순열과 조합의 차이는 뭔가요?
순열은 순서가 중요하고, 조합은 순서를 무시합니다. 3명 중 회장·부회장을 뽑는 것은 순열(P(3,2)=6), 3명 중 대표 2명을 뽑는 것은 조합(C(3,2)=3)입니다. 같은 멤버라도 역할이 다르면 순열, 같으면 조합입니다.
중복 허용은 어떤 경우인가요?
같은 항목을 여러 번 선택할 수 있는 경우입니다. 4자리 비밀번호(0~9)는 중복순열 10^4=10,000가지이고, 음료 3개를 5종류에서 중복 주문하는 것은 중복조합 H(5,3)=C(7,3)=35가지입니다.
큰 숫자의 팩토리얼은 어떻게 계산하나요?
100! 같은 큰 숫자는 직접 곱하면 오버플로우가 발생합니다. 로그를 사용하여 log(n!)=Σlog(i)로 계산한 뒤 필요시 역로그를 취합니다. 이 계산기는 내부적으로 logFactorial을 사용하여 큰 수도 정확히 처리합니다.
조합은 일상에서 어떤 경우에 쓰이나요?
로또 당첨 확률, 메뉴에서 세트 조합 고르기, 동아리에서 대표 뽑기, 스포츠 리그 대진표 짜기 등이 모두 조합입니다. 순서가 중요하지 않고 "몇 개를 고르느냐"만 따지는 모든 상황에 적용됩니다.
0!은 왜 1인가요?
0개에서 0개를 고르는 방법은 "아무것도 안 고르는" 1가지입니다. 수학적으로는 C(n,0)=1이 되려면 0!=1이어야 공식이 성립합니다. 이는 빈 곱(empty product)의 정의와도 일치합니다.
순열과 조합을 구분하는 가장 쉬운 방법은?
"순서를 바꾸면 다른 결과인가?"를 질문하세요. 비밀번호 1234와 4321은 다르므로 순열, 로또 번호 {1,2,3,4}와 {4,3,2,1}은 같으므로 조합입니다.
계산 원리
순열(Permutation)과 조합(Combination)은 경우의 수를 세는 두 가지 기본 방법입니다. 순열은 순서가 중요한 경우, 조합은 순서를 무시하는 경우에 사용합니다. 팩토리얼(n!)은 n개를 일렬로 나열하는 방법의 수로, 모든 계산의 기초입니다.
순열 P(n,r) = n!/(n-r)!은 n개 중 r개를 순서대로 고르는 경우의 수입니다. 조합 C(n,r) = n!/(r!(n-r)!)은 순서를 무시하므로 순열을 r!로 나눕니다. 중복순열은 n^r(같은 항목 반복 가능, 순서 있음), 중복조합 H(n,r) = C(n+r-1, r)입니다.
예를 들어 5명 중 3명을 뽑아 1·2·3등을 정하면 P(5,3)=60가지이지만, 단순히 3명을 뽑으면 C(5,3)=10가지입니다. 순서를 고려하면 경우의 수가 3!=6배 많아집니다.
사용 방법
계산 유형 선택
순열, 조합, 중복순열, 중복조합 중 선택합니다.
값 입력
전체 개수(n)와 선택 개수(r)를 입력합니다.
결과 확인
경우의 수와 계산 과정을 확인합니다.
용어 사전
- 순열(Permutation)
- n개 중 r개를 순서를 고려하여 나열하는 경우의 수. P(n,r) = n!/(n-r)!.
- 조합(Combination)
- n개 중 r개를 순서 없이 선택하는 경우의 수. C(n,r) = n!/(r!(n-r)!).
- 팩토리얼(n!)
- 1부터 n까지의 모든 자연수를 곱한 값. 예: 5! = 120. 0! = 1로 정의합니다.
- 중복순열
- 같은 항목을 반복 선택할 수 있는 순열. n^r로 계산합니다. 예: 비밀번호.
- 중복조합
- 같은 항목을 반복 선택할 수 있는 조합. H(n,r) = C(n+r-1, r)로 계산합니다.
- 경우의 수
- 어떤 사건이 일어날 수 있는 모든 가능한 결과의 수.
- 곱의 법칙
- 독립적인 두 선택을 동시에 할 때, 전체 경우의 수는 각 경우의 수의 곱.