1차원 대칭 워크 100걸음
좌우 확률 각 50%로 100걸음 이동하면 기대 거리는 약 8(√(2×100/π) ≈ 7.98)이고, 위치의 표준편차는 √100 = 10입니다. 여러 번 시뮬레이션하면 대부분 -20~+20 범위 안에 있으며, 경로마다 전혀 다른 모양을 보입니다.
같은 조건이라도 경로가 매번 다르지만, 통계적 특성(기대 거리, 분산)은 일정합니다. 이것이 확률적 모델링의 핵심입니다.
랜덤워크 시뮬레이터
1D/2D 랜덤워크 시뮬레이션. 기대 이동 거리와 원점 복귀 확률을 확인합니다.
입력
차원
걸음
회
이론적 기대 거리
시뮬레이션 계산 중…
랜덤워크 궤적 (첫 번째)
차트 그리는 중…
최종 거리 분포
차트 그리는 중…
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랜덤워크 시뮬레이터는 매 걸음마다 무작위 방향으로 이동하는 확률 과정을 1차원과 2차원에서 시각화하고 분석합니다. n걸음 후 원점에서의 거리는 √n에 비례하며(1차원 기대 거리는 약 0.798√n), 대칭 랜덤워크에서 1차원과 2차원은 확률 1로 원점에 복귀합니다(폴리아 정리). 100걸음 1차원 대칭 랜덤워크의 기대 거리는 약 8(√(2×100/π) ≈ 7.98)이고 위치의 표준편차는 √100 = 10이며, 충분한 시간이 주어지면 반드시 원점에 돌아옵니다. 단, 3차원부터는 원점 복귀 확률이 약 34%로 떨어집니다. 주가 변동, 분자 확산, 생태계 이동 등 자연과 사회의 다양한 현상을 모델링하는 기초 확률 과정입니다. 여러 경로를 동시에 시각화하여 확률적 분산을 직관적으로 확인할 수 있습니다.
실생활 예시
이럴 때 이렇게 계산해요.
2차원 랜덤워크 (술취한 걸음)
2차원에서 4방향 균등 랜덤워크 1,000걸음을 시뮬레이션하면, 기대 거리는 √(π×1,000)/2 ≈ 28.0입니다. 폴리아 정리에 의해 2차원에서도 결국 원점에 돌아옵니다.
"술취한 사람은 반드시 집에 돌아온다"는 수학적으로 참입니다(1D, 2D). 하지만 3차원에서는 약 66%가 영영 돌아오지 못합니다.
주가 변동 모델링
어떤 주식의 일일 변동률이 ±1%로 무작위라면, 100일 후 누적 변동률의 표준편차(전형적인 변동 폭)는 √100 × 1% = 10%입니다. 1년(250거래일)이면 √250 × 1% ≈ 15.8%입니다.
주가 변동성은 시간의 제곱근에 비례합니다. 이것이 장기 투자에서 "시간이 위험을 줄인다"는 주장이 완전하지 않은 이유입니다. 변동 폭은 줄지만, 절대 금액의 변동은 시간과 함께 커집니다.
분자 확산(브라운 운동)
물속에 잉크 한 방울을 떨어뜨리면 잉크 분자들이 물 분자와 충돌하며 랜덤워크를 합니다. 시간 t 후 확산 거리는 √(2Dt)에 비례합니다(D는 확산 계수).
랜덤워크의 √t 스케일링은 자연에서 확산 현상의 근본 원리입니다. 아인슈타인이 1905년 브라운 운동 논문에서 이를 수학적으로 증명했습니다.
도박사의 파산
100만 원을 가진 도박사가 매판 1만 원을 걸고 공정한 게임(승률 50%)을 합니다. 자산 변화는 1차원 랜덤워크를 따르며, 충분한 시간이 지나면 반드시 0원(파산)에 도달합니다.
공정한 게임이라도 유한한 자본으로 무한히 게임하면 파산이 확실합니다. 실제 카지노에서는 하우스 엣지(약간의 불리함)까지 있으므로 파산이 더 빨리 옵니다.
관련 계산기
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자주 묻는 질문
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1차원 랜덤워크에서 반드시 원점으로 돌아오나요?
대칭 랜덤워크(좌우 확률 각 50%)에서는 확률 1로 원점에 돌아옵니다. 이를 폴리아의 재귀 정리라 합니다. 단, "언제" 돌아오는지는 보장되지 않으며, 평균 복귀 시간은 무한대입니다.
비대칭 랜덤워크는 어떻게 되나요?
오른쪽 확률이 50%보다 크면 시간이 지날수록 오른쪽으로 멀어지며, 원점 복귀 확률은 1보다 작아집니다. 예를 들어 오른쪽 60%면 평균적으로 매 걸음 +0.2씩 이동하므로, 100걸음 후 기대 위치는 +20입니다.
거리가 √n에 비례하는 것은 왜 중요한가요?
n걸음에 √n 비례는 확산 속도를 나타냅니다. 위치의 표준편차는 100걸음에 10, 10,000걸음에 100으로, 걸음 수의 제곱근만큼만 퍼집니다. 이는 주가 변동이 시간에 비례하지 않고 √시간에 비례하는 현상의 수학적 기초입니다.
3차원에서는 왜 원점에 돌아오지 못하나요?
3차원에서는 이동 가능한 방향이 6개로, 공간이 넓어 원점으로 돌아올 확률이 약 34%밖에 되지 않습니다. 폴리아의 정리에 따르면, 1차원과 2차원에서만 재귀적(확률 1 복귀)이고, 3차원 이상에서는 비재귀적입니다. "술취한 사람은 2D에서는 반드시 집에 오지만, 3D에서는 우주 미아가 된다"는 비유가 유명합니다.
랜덤워크와 주식 가격의 관계는 무엇인가요?
효율적 시장 가설에 따르면 주가는 랜덤워크를 따릅니다. 새로운 정보가 무작위로 도착하므로 가격 변동도 무작위라는 것입니다. 이 모델에서 주가의 변동 폭은 √시간에 비례하며, 이는 옵션 가격 결정(블랙-숄즈 모델)의 기초가 됩니다.
랜덤워크에서 "갈 수 있는 가장 먼 거리"는 얼마인가요?
n걸음에서 최대 거리는 n(한 방향으로만 이동)이지만, 이 확률은 (1/2)^n으로 극히 낮습니다. 실질적으로 대부분의 경로는 -2√n에서 +2√n 범위 안에 있으며, 이 범위를 벗어날 확률은 약 5%입니다.
랜덤워크와 도박사의 파산 문제는 어떤 관련이 있나요?
도박사가 일정 금액을 가지고 공정한 게임을 하면, 자산 변화가 1차원 랜덤워크를 따릅니다. 랜덤워크는 확률 1로 원점에 복귀하므로, 유한한 자본을 가진 도박사는 결국 파산합니다(시간이 무한하다면). 이것이 "도박사의 파산 정리"입니다.
계산 원리
1차원 대칭 랜덤워크에서 각 걸음 Xᵢ는 +1(확률 1/2) 또는 -1(확률 1/2)입니다. n걸음 후 위치 Sₙ = X₁ + X₂ + ... + Xₙ의 기대값은 E[Sₙ] = 0이고, 분산은 Var(Sₙ) = n입니다. 따라서 원점에서의 기대 거리는 E[|Sₙ|] ≈ √(2n/π) ≈ 0.798√n입니다.
폴리아의 재귀 정리(1921): d차원 대칭 랜덤워크에서 원점 복귀 확률 P(d)는 d=1,2일 때 P=1(재귀적), d≥3일 때 P<1(비재귀적)입니다. 구체적으로 d=3에서 P(3) = 1 - 1/u₃ ≈ 0.3405 (u₃ ≈ 1.5164는 왓슨 적분). 이는 차원이 높을수록 "탈출할 방향"이 많아져 원점으로 돌아오기 어려워지기 때문입니다.
비대칭 랜덤워크(오른쪽 확률 p ≠ 1/2)에서 기대 위치는 E[Sₙ] = n(2p-1)로, 한 방향으로 편향됩니다. 이 경우 원점 복귀 확률은 min(1, q/p)^a × min(1, p/q)^b (q=1-p, a,b는 경계)로, p ≠ 1/2이면 1보다 작아집니다.
사용 방법
차원 선택
1차원 또는 2차원 랜덤워크를 선택합니다.
걸음 수 설정
총 걸음 수와 시뮬레이션 횟수를 입력합니다.
확률 설정
1차원의 경우 오른쪽 이동 확률을 설정합니다.
결과 확인
경로 시각화, 기대 거리, 원점 복귀율, 최종 위치 분포를 확인합니다.
용어 사전
- 랜덤워크(무작위 보행)
- 매 걸음마다 무작위 방향으로 이동하는 확률 과정. 주가 변동, 분자 확산 등 다양한 현상의 수학적 모델입니다.
- 폴리아의 재귀 정리
- 1,2차원 대칭 랜덤워크는 확률 1로 원점에 복귀하지만, 3차원 이상에서는 복귀 확률이 1보다 작다는 정리.
- 브라운 운동
- 미세 입자가 유체 분자와 충돌하며 보이는 무작위 운동. 연속 시간 랜덤워크의 극한으로, 아인슈타인이 수학적으로 기술했습니다.
- 확산
- 입자나 물질이 고농도에서 저농도로 퍼져나가는 현상. 랜덤워크의 √t 스케일링이 확산 속도를 결정합니다.
- 분산
- 확률 변수의 흩어진 정도를 나타내는 값. 대칭 랜덤워크에서 n걸음 후 위치의 분산은 n입니다.
- 마팅게일
- 미래 기대값이 현재 값과 같은 확률 과정. 대칭 랜덤워크는 대표적인 마팅게일입니다.
- 도박사의 파산 정리
- 유한한 자본을 가진 도박사가 공정한 게임을 무한히 반복하면 반드시 파산한다는 정리. 1차원 랜덤워크의 재귀성에서 유도됩니다.
- 효율적 시장 가설
- 모든 정보가 즉시 가격에 반영되므로 주가 변동이 랜덤워크를 따른다는 경제학 가설.