기본 게임 (최대 20회)
최대 20번 던지기로 제한하면 기대 상금은 20원입니다. 하지만 시뮬레이션 10,000회의 중앙값은 약 2원이고, 평균은 약 20원 근처입니다. 75%의 경우 4원 이하를 받습니다.
참가비 10원이면 기대값상 이득(20원-10원=+10원)이지만, 실제로 75%의 참가자가 손해를 봅니다. 기대값만 보고 판단하면 위험합니다.
상트페테르부르크 역설
기대값이 무한대인 게임에 얼마를 걸겠습니까? 기대값과 실제 결과의 괴리를 체험합니다.
입력
회
동전 던지기 상한 (무한대 근사)
원
회
이론적 기대값
시뮬레이션 계산 중…
상금 테이블
| k번째 뒷면 | 확률 | 상금 | 기여값 |
|---|---|---|---|
| 1 | 50.0000% | 2원 | 1.00 |
| 2 | 25.0000% | 4원 | 1.00 |
| 3 | 12.5000% | 8원 | 1.00 |
| 4 | 6.2500% | 16원 | 1.00 |
| 5 | 3.1250% | 32원 | 1.00 |
| 6 | 1.5625% | 64원 | 1.00 |
| 7 | 0.7813% | 128원 | 1.00 |
| 8 | 0.3906% | 256원 | 1.00 |
| 9 | 0.1953% | 512원 | 1.00 |
| 10 | 0.0977% | 1,024원 | 1.00 |
| 11 | 0.0488% | 2,048원 | 1.00 |
| 12 | 0.0244% | 4,096원 | 1.00 |
| 13 | 0.0122% | 8,192원 | 1.00 |
| 14 | 0.0061% | 16,384원 | 1.00 |
| 15 | 0.0031% | 32,768원 | 1.00 |
| 16 | 0.0015% | 65,536원 | 1.00 |
| 17 | 0.0008% | 131,072원 | 1.00 |
| 18 | 0.0004% | 262,144원 | 1.00 |
| 19 | 0.0002% | 524,288원 | 1.00 |
| 20 | 0.0001% | 1,048,576원 | 1.00 |
시뮬레이션 상금 분포
차트 그리는 중…
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상트페테르부르크 역설은 기대값이 무한대인데도 사람들이 소액만 지불하려는 역설적 도박 문제입니다. 동전을 던져 k번째에 처음 뒷면이 나오면 2^k원을 받으며, 각 회차의 기대 기여값이 1원이므로 무한 합산 시 기대값은 무한대입니다. 최대 20회로 제한하면 기대값은 20원이지만, 중앙값은 약 2원에 불과합니다. 50% 확률로 첫 던지기에서 뒷면이 나와 2원만 받기 때문입니다. 기대값과 실제 체감 사이의 극단적 괴리를 보여줍니다. 효용 이론, 위험 선호, 의사결정론의 핵심 사례로, 기대값만으로 판단하면 안 되는 이유를 이해할 수 있습니다.
실생활 예시
이럴 때 이렇게 계산해요.
참가비 결정 실험
실험에서 사람들은 보통 2~25원 정도만 참가비로 지불하려 합니다. 기대값이 무한대인데도 소액만 지불하려는 것은, 사람들이 기대값이 아닌 대부분의 결과(중앙값)를 기준으로 판단하기 때문입니다.
이 실험은 기대값이 의사결정의 유일한 기준이 될 수 없으며, 분포의 모양과 개인의 위험 선호도가 중요함을 보여줍니다.
스타트업 투자와의 비유
100개 스타트업에 투자하면 90개는 실패하고, 9개는 소폭 이익, 1개는 100배 수익을 줄 수 있습니다. 기대값은 양수이지만, 대부분의 개별 투자는 손해입니다. 이는 상트페테르부르크 역설과 유사한 구조입니다.
벤처 투자에서는 극소수의 대성공이 전체 수익을 만들어냅니다. 기대값은 높지만 개별 투자자의 체감은 매우 다를 수 있습니다.
복권 구매의 심리
로또 1등 당첨금이 100억 원일 때, 기대값은 약 500원(1,000원 복권 기준)으로 손해입니다. 하지만 많은 사람이 구매하는 이유는 "인생이 바뀔 만큼 큰 상금"의 효용이 1,000원 손실의 효용보다 크게 느껴지기 때문입니다.
복권은 기대값으로는 비합리적이지만, 효용의 관점에서는 "작은 비용으로 꿈을 사는 것"으로 이해할 수 있습니다. 상트페테르부르크 역설이 보여주는 기대값의 한계와 같은 맥락입니다.
보험과 위험 회피
화재 보험 가입자는 연간 10만 원의 보험료를 납부합니다. 화재 발생 확률은 0.1%이고 평균 피해액은 5,000만 원이므로, 기대 보상은 5만 원으로 보험료보다 적습니다.
기대값상 손해이지만, 5,000만 원 손실의 충격은 10만 원 보험료의 부담보다 훨씬 큽니다. 이것이 효용 이론이 설명하는 합리적 보험 가입의 근거입니다.
관련 계산기
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자주 묻는 질문
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기대값이 무한대면 아무리 높은 참가비도 이득인가요?
이론적으로는 그렇지만, 실제로는 아닙니다. 대부분의 경우 2~4원만 받고, 높은 상금을 받을 확률은 극히 낮습니다. 1,000원 이상 받을 확률은 약 0.2%입니다. 이 괴리가 바로 역설의 핵심입니다.
중앙값이 기대값보다 왜 이렇게 낮나요?
상금 분포가 극도로 비대칭이기 때문입니다. 50%가 2원, 25%가 4원, 12.5%가 8원... 처럼 대부분 소액을 받고, 극소수만 큰 금액을 받습니다. 기대값은 이 극단적 고액에 의해 끌어올려지지만, 대부분의 사람이 경험하는 금액(중앙값)은 2원입니다.
이 역설은 어떻게 해결되나요?
대표적 해결은 효용 이론입니다. 다니엘 베르누이는 금액이 아닌 로그 효용을 사용하면 기대 효용이 유한해진다고 제안했습니다. 또한 현실에서는 카지노 자본이 유한하므로 상금에 한도가 있어 기대값도 유한합니다.
효용 이론이란 무엇인가요?
같은 금액이라도 사람에 따라, 상황에 따라 느끼는 가치가 다르다는 이론입니다. 1억 원이 있는 사람에게 100만 원의 가치와, 100만 원이 있는 사람에게 100만 원의 가치는 다릅니다. 로그 효용 함수 U(x) = ln(x)를 적용하면 상트페테르부르크 게임의 기대 효용이 유한해집니다.
실제로 이 게임을 하면 평균적으로 얼마를 받나요?
최대 20회로 제한해도 10,000번 시뮬레이션의 평균은 약 10~30원 범위에서 크게 흔들립니다. 이는 가끔 발생하는 극단적 고액 상금이 평균을 크게 끌어올리기 때문입니다. 중앙값(2원)이 "대부분의 경험"을 더 잘 반영합니다.
상트페테르부르크 역설과 보험의 관계는 무엇인가요?
보험은 기대값상으로는 손해입니다(보험료 > 기대 보상). 하지만 사람들이 보험에 가입하는 이유는 큰 손실의 효용 감소가 작은 보험료의 효용 감소보다 크기 때문입니다. 이는 상트페테르부르크 역설에서 기대값이 아닌 효용으로 판단해야 한다는 교훈과 같은 원리입니다.
카지노 자본이 유한하면 기대값은 어떻게 되나요?
카지노가 100만 원까지만 지불할 수 있다면, 최대 상금은 2^20 = 1,048,576원이므로 최대 20회까지만 의미가 있고, 기대값은 20원이 됩니다. 10억 원까지 가능하면 약 30원입니다. 현실에서 기대값이 유한한 이유 중 하나입니다.
계산 원리
상트페테르부르크 게임에서 k번째 동전 던지기에 처음 뒷면이 나올 확률은 (1/2)^k이고, 이때 상금은 2^k원입니다. 기대 상금 = Σ(k=1→∞) (1/2)^k × 2^k = Σ(k=1→∞) 1 = ∞. 각 회차의 기대 기여값이 1원으로 동일하고, 무한히 합산되므로 기대값은 발산합니다.
다니엘 베르누이(1738)는 효용 함수 U(x) = ln(x)를 도입하여 이 역설을 해결했습니다. 기대 효용 = Σ(k=1→∞) (1/2)^k × ln(2^k) = ln(2) × Σ(k=1→∞) k/2^k = 2ln(2) ≈ 1.39. 이는 U(x) = ln(x)에서 x ≈ e^1.39 ≈ 4원에 해당하므로, 사람들이 소액만 지불하려는 현상을 설명합니다.
최대 n회로 제한하면 기대값 = n원이 됩니다. 하지만 중앙값은 항상 2원(50% 확률로 첫 던지기에 뒷면)이고, 상위 1% 상금은 2^7 = 128원 이상입니다. 평균과 중앙값의 극단적 차이는 분포의 극심한 비대칭(양의 왜도)을 보여줍니다.
사용 방법
게임 설정
최대 던지기 횟수와 참가비를 입력합니다.
시뮬레이션 실행
시뮬레이션 횟수를 설정하고 실행합니다.
결과 확인
이론적/시뮬레이션 기대값, 중앙값, 상금 분포 차트와 상금 테이블을 확인합니다.
용어 사전
- 기대값
- 가능한 모든 결과에 확률을 곱하여 합산한 평균적 결과. 상트페테르부르크 게임에서는 무한대가 됩니다.
- 효용 함수
- 금액을 "느끼는 가치"로 변환하는 함수. 같은 금액이라도 부유한 사람에게는 덜 가치 있으므로, 보통 로그 함수(오목 함수)를 사용합니다.
- 중앙값
- 전체 결과를 크기 순으로 나열했을 때 정확히 가운데에 위치하는 값. 극단적 값의 영향을 받지 않아 "대부분의 경험"을 더 잘 반영합니다.
- 위험 회피
- 같은 기대값이라도 변동성이 적은 쪽을 선호하는 성향. 대부분의 사람은 위험 회피적이며, 이것이 보험 가입의 근거가 됩니다.
- 왜도(Skewness)
- 분포의 비대칭 정도. 양의 왜도는 소수의 극단적 고액이 평균을 끌어올리는 분포로, 상트페테르부르크 게임이 대표적입니다.
- 발산
- 합이나 수열이 유한한 값에 수렴하지 않고 무한대로 커지는 것. 상트페테르부르크 게임의 기대값이 발산합니다.
- 한계 효용 체감
- 추가 1원의 가치가 보유 자산이 늘수록 줄어드는 현상. 100원에서 200원이 되는 것보다, 10,000원에서 10,100원이 되는 것이 덜 기쁘게 느껴집니다.